Integración inmediata

Las más fáciles de todas. Sólo basta con aplicar las propiedades fundamentales y ¡voila! quedan resueltas.

Preliminares

La mejor forma de empezar a aprender a resolver integrales es viendo algunas ejercicios resueltos. Haz click sobre el ejercicio para ver el video con la solución.

Ejercicio resuelto #1
\int (5 \cos{x} - 4 \sin{x}) dx

Ejercicios resueltos

(Haz click sobre la función para ver el video con la solución)

1. \int (3u^5 - 2u^3) du
2. \int (x-2)(x+3) dx
3. \int (1 - 2 \cos{x}) dx
4. \int (3 \csc^2{t} - 5 \sec{t} \tan{t}) dt
5. \int (x^3 + 4)^2 dx
6. \int \left( \frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^2} + 5 \right) dx
7. \int \frac{27 t^3 - 1}{\sqrt[3]{t}}
8. \int \frac{(y+1)^2}{y^2} dy

Un poco de teoría

El cálculo integral se basa en el concepto de la integral. La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a,b].

Area bajo la curva

Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a muchos problemas que implican movimiento, velocidad, crecimiento de poblaciones, volumen, longitud de arco, área de una superficie, centros de gravedad, entre muchos otros.

El teorema más importante es el Teorema Fundamental del Cálculo que proporciona una conexión vital entre las operaciones de derivación e integración, ofreciendo un método eficaz para calcular el valor de las integrales.

Pero comencemos definiendo la antiderivación, pues necesitamos “derivar en orden inverso”.

Antiderivada o Primitiva

Una antiderivada o primitiva de la función f es una función F tal que

F'(x) = f(x)

siempre y cuando f(x) esté definida.

Entonces, una sola función tiene muchas primitivas, mientras que una función sólo puede tener una derivada. Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x) + C para cualquier elección de la constante C.

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La primitiva más general

Si F'(x) = f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f en I tiene la forma

G(x) = F(x) + C

donde C es una constante.

La colección de todas las primitivas de la función f(x) es conocida como la integral indefinida de f con respecto de x y se denota

\int f(x) dx

es decir, podemos escribir

\int f(x) dx = F(x) + C

donde F(x) es una primitiva particular de f(x). Por tanto:

\int f(x) dx = F(x) + C si y sólo si F'(x) = f(x)

Hay dos propiedades simples de la integral que se usan con frecuencia en el cálculo:

  1. Linealidad con respecto al producto de una función por una constante:
    \int \alpha f(x) dx = \alpha \int f(x) dx
  2. Linealidad con respecto a la suma de funciones:
    \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x)dx \pm \int g(x) dx
Ademas, en muchos casos, hay que aplicar ciertas herramientas básicas del álgebra para resolver una integral inmediata. Tales herramientas pueden ser:

  • Factorizar
  • Racionalizar
  • Aplicar producto notable
  • Aplicar la propiedad distributiva
  • Hacer completación de cuadrados
  • etc.
Curiosidad
El símbolo de la integral \int es como una S mayúscula alargada. En realidad es una S medieval, utilizada por Leibniz como una abreviación de la palabra latina summa (suma).
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Cada fórmula de derivación (tabla de derivadas) produce inmediatamente, por “inversión” de la derivación, una fórmula integral indefinida correspondiente.

A continuación presentamos una tabla de las integrales inmediatas utilizadas con mayor frecuencia y la cual debemos tener muy en cuenta a la hora de resolver cualquier integral, ya que el objetivo es reducir una integral, a una integral inmediata:

Tabla de integrales

\int dx = x + c

\int ( f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx

\int a dx = ax + c

\int x^n dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c

\int \frac{dx}{x} = \ln{x} + c

\int e^{x} dx = e^{x} + c

\int \frac{dx}{ax + b} = \frac{1}{a} \ln{(ax + b)} + c

\int \sin{x} dx = - \cos{x} + c

\int \cos{x} dx = \sin{x} + c

\int \sec^2{x} dx = \tan{x} + c

\int \csc^2{x} dx = - \cot{x} + c

\int \sec{x} \tan{x} dx = \sec{x} + c

\int \csc{x} \cot{x} dx = - \csc{x} + c

\int \tan{x} dx = \ln{(\sec{x})} + c

\int \cot{x} dx = \ln{(\sin{x})} + c

\int \sec{x} dx = \ln{(\sec{x} + \tan{x})} + c

\int \csc{x} dx = \ln{(\csc{x} - \cot{x})} + c

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85 respuestas a Integración Inmediata

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